Conjuntos

CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

LOS DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en

matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático

Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Propiedades de unión

– Propiedades asociativas, si en una unión de tres o más conjuntos se reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado.
R∩S∩T=(R∩S)∩T
R∩S∩T=R∩(S∩T)

– Propiedades conmutativas, Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía.
R∪S∪T=S∪R∪T
R∪S∪T=T∪R∪S

Propiedades de la intersección

– Propiedad asociativa, si en una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado total es el mismo.
R∪S∪T=(R∪S)∪T
R∪S∪T=R∪(S∪T)

– Propiedad conmutativa, cambiando el orden de los conjuntos, la intersección no se altera.
R∩S∩T=R∩T∩S
R∩S∩T=T∩R∩S

– Propiedad distributiva

La unión es distributiva con respecto a la intersección.
(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)

La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión.
(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)

Propiedades de la diferencia

La diferencia de conjuntos no es asociativa, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Ejemplo:

C= {x/x es el alumno que debe rendir español}
M={x/x es alumno que debe rendir matemáticas}

– 1° paso: Representación gráfica
– 2° paso: Ubicar en el conjunto C∩M los alumnos que deben rendir español pero no matemáticas.
– 3° paso: 20 alumnos deben rendir español, de acuerdo con los datos, y 10 rinden sólo esta materia; entonces, los 10 restantes adeudan ambas materias y se tienen que ubicar en C∩M

La diferencia es distributiva con respecto a la unión y a la intersección de conjuntos.

– (R∪S)-T=(R-T)∪(S-T)
– (R∩S)-T=(R-T)∩(S-T)