Fracciones

Fracciones

 es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal.

Una fracción suele representarse como dos números organizados verticalmente con una línea entre ellos. El número sobre la línea es llamado el numerador y el número bajo la línea es llamado el denominador.

Fracciones suma

Suma de fracciones con el mismo denominador

Para sumar fracciones con el mismo denominador se tienen que sumar los numeradores dejando el mismo denominador.

Por ejemplo,

Como las 2 fracciones tienen el mismo denominador, lo que tenemos que hacer es dejar el mismo denominador, que es 4, y sumar los numeradores:

3 + 2 = 5

Y el resultado de la suma de fracciones es:

Suma de fracciones con distinto denominador

Para hacer suma de fracciones con distinto denominador, lo primero que hay que hacer es poner un denominador común: esto es el mínimo común múltiplo entre los denominadores que haya. Después multiplicamos cada numerador por el número que hayamos multiplicado al denominador. Por último, sumamos los numeradores que hayamos obtenido y dejamos el mismo denominador.

Por ejemplo,

Lo primero es haya un denominador común entre el 3 y el 5. Para eso, hallamos el mínimo común múltiplo entre ambos.

m.c.m. (3,5) = 15

Por lo tanto 15 es el denominador común de las dos fracciones.

Ahora tenemos que multiplicar cada numerador por el número que hayamos multiplicado el denominador. Para ello, dividimos el m.c.m entre el denominador inicial y el resultado lo multiplicamos por el numerador de esa fracción:

Para la primera fracción:

15 : 3 = 5

5 x 2 = 10

Por lo tanto, 10 es el numerador de la primera fracción.

Para la segunda fracción:

15 : 5 = 3

3 x 4 =12

Por lo tanto, 12 es el numerador de la segunda fracción.

Ahora ya solo nos queda sumar los numeradores:

10 + 12 = 22

Y el resultado de la suma de fracciones es:

Fracciones resta

fracciones que tiene el mismo denominador.

La resta de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común.

Ejemplo:

fracciones con diferente denominador.

La resta de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso

1. Multiplicar en cruz. Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Ambas multiplicaciones se restan.

Ejemplo:

2. Multiplicar los denominadores de las dos fracciones. Se multiplican los denominadores de las dos fracciones.

3. Resolvemos todas las operaciones.

Observamos que 8 es múltiplo de 2. Por lo que dividimos el 8 del denominador y del numerador por este número.

Fracción MCM

¿Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)?

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número positivo más pequeño que es múltiplo de dos o más números.

Para entender mejor esta definición vamos a ver todos los términos:

• Múltiplo: Los múltiplos de un número son los que obtienes cuando lo multiplicas por otros números.

Vamos a ver un ejemplo de los múltiplos de 2 y de 3. Para calcular sus múltiplos hay que ir multiplicando el 2 o el 3 por 1, por 2, por 3, etc.

2 x 1 = 2          2 x 2 = 4          2 x 3 = 6          2 x 4 = 8          y así sucesivamente hasta infinitos números.

3 x 1 = 3          3 x 2 = 6          3 x 3 = 9          3 x 4 = 12        y así sucesivamente hasta infinitos números.

Fracción MCD

Qué es el Máximo Común Divisor (MCD)?

Es el mayor número que divide exactamente a dos o más números.

Términos:

• Divisor: El divisor de un número es el valor que divide al número en partes exactas, es decir, que el resto sea cero.

Vamos a ver un ejemplo de esto:

Divisibilidad y criterios de divisibilidad

Divisibilidad  y criterios de divisibilidad

Se refiere a la posibilidad de que dados dos números enteros a y b ( en particular dos números naturales) exista un número entero c tal que a = bc. En el caso de existir c, se dirá que a es divisible por b. Si tal hecho ocurre, se denota b | a, que se lee: b es divisor de a o b divide al número a.

Criterios de divisibilidad 

Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Estas son las reglas más comunes:

DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.

24 es divisible por 2 porque es par.

31 no es divisible por 2 porque no es par.

DIVISIBILIDAD POR 3: Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

                              42 es divisible por 3 porque 4 + 2 = 6 es múltiplo de tres.

                       43 no es divisible por 3 porque 4 + 3 = 7 que no es múltiplo de tres.

DIVISIBILIDAD POR 5: Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.

35 es divisible por 5 porque acaba en cinco.

540 es múltiplo de 5 porque acaba en cero.

DIVISIBILIDAD POR 9: Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

45 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (4 + 5 = 9)

738 es múltiplo de 9 porque 7 + 3 + 8 = 18, que es múltiplo de 9.

DIVISIBILIDAD POR 10: Un número es divisible por 10 si termina en cero. De manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.

El número 70 es divisible por 10 porque termina en cero

Números Naturales y Enteros

Números naturales y enteros

Los conjuntos de los números naturales y enteros son los más próximos a la realidad humana inmediata, los que se usan en las operaciones sencillas de suma, resta y multiplicación. En esencia, los números naturales se emplean para contar los objetos de un conjunto, mientras que los enteros (que son los naturales más el cero y los números negativos) resultan intuitivamente de las operaciones de sustracción realizadas con los naturales.

Números primos

un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.​​ Por el contrario, los números compuestos son los números naturales que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1, y, por lo tanto, pueden factorizarse.

Números compuestos

Número compuesto es cualquier número natural no primo, a excepción del 1. Es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse a estos números.

Sistema de Numeración

SISTEMA DE  NUMERACIÓN

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como:

${\displaystyle {\mathcal {N}}=(S,{\mathcal {R}})}$ 

Sistema de numeración base 10 o decimal 

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen hindú. 

Sistema de numeración base 2 o binario

El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1

 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1

 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 

 16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0 

 8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0 

 4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0 

 2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0 

 1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 

 -> Ordenamos los restos, del último al primero que están en color Azul: 100000112

Sistema de numeración base 3 o ternario

El sistema ternario es el nombre que se le da a la base 3 constante. Para representar cualquier número en el sistema ternario, se utilizan los dígitos del 0, 1, 2.

 

Lógica

LÓGICA

Es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

Lógica Proporcional

Una lógica proposicional, o a veces lógica de orden cero, es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.​

 Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede acarrear dos valores : ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez.las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad o la falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores lógicos) y proposiciones compuestas (cuentan con más de un conector lógico). 

Lógica Cuantificacional

Es llamada también lógica de predicados o lógica de primer orden.

La lógica cuantificacional estudia la composición íntima de las proposiciones, utiliza nuevos símbolos, leyes y métodos para establecer la validez de los razonamientos 

esta lógica estudia de manera más detallada los predicados a través del uso de cuantificadores que expresan cantidad (todos  o algunos ).

Tabla de la verdad

Tablas de verdad o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdadde una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

La tabla de los "valores de verdad", es usada en el ámbito de la lógica, para obtener la verdad (V) o falsedad (F), valores de verdad, de una expresión o de una proposición. Además sirven para determinar si es que un determinado esquema de inferencia es formalmente válido como un argumento, llegando a la conclusión de que este es una tautología (se habla de una tautología cuando todos los valores de la tabla mencionada son "V" o sea verdadero).

Preposición Condicional

La proposición condicional "si p entonces q" se denota con "p-->q" Una proposición condicional es falsa si y sólo si (por definición) p es falsa y q verdadera. Otra forma de verbalizar la proposición condicional es "p si q" o "p a condición de q".

Ejercicios y Problemas

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 

1)Ayer Tomas compró una camiseta de 15 euros y una mochila de 23 euros, pero le hicieron un descuento y, en total, solo pagó 35 euros. ¿Cuánto descuento le hicieron?

RESPUESTA: 

2)En el parque de atracciones, nos hemos montado en “La rueda loca”, que es muy divertida. Nos ha dicho el vigilante que ha funcionado 40 veces y siempre llena, llevando 5 niños cada viaje. Otra atracción, “El dragón púrpura”, ha llevado 3 veces más niños que “La rueda loca”. ¿Cuántos niños se han montado en “El dragón púrpura”?

RESPUESTA:

3)El pirata Barba Plata me ha dicho que ha encontrado un tesoro en una isla desierta que tenía en total 3000 monedas de oro repartidas por igual en 3 cofres. Además, en cada cofre había también 200 monedas de plata y 2 veces más monedas de bronce que de plata. ¿Cuántas monedas había en total en cada cofre?

 RESPUESTA: 

4)La biblioteca de la clase tiene 33 libros de lengua. Se han prestado 22 a los alumnos. ¿Cuantos libros de lengua quedan en la biblioteca?

RESPUESTA:

5)Dentro de una cesta hay 39 gatos y se salieron 29. ¿Cuantos gatos quedaron en la cesta?

RESPUESTA:

Juegos Matemáticos

JUEGOS MATEMÁTICOS

1) hallar el valor de cada fruta y descubrir el total pedido:

2) realizar las respectivas sumas y descubrir su total :

3) Descubrir cual es el símbolo matemático para esta operación 

4) Realiza la operación y encuentra el resultado 

5) Realiza la operación y descubre el resultado  

Operaciones Básicas

OPERACIONES BÁSICAS

Las operaciones básicas de la matemática son cuatro la suma, la resta, la multiplicación y la división, Las operaciones básicas de las matemáticas nos sirven mucho para la vida cotidiana, y también nos sirve para el colegio para los ejercicios que nos pongan

LA SUMA

Como operación matemática, la suma o adhesión consiste en añadir dos números o más para obtener una cantidad total. El proceso también permite reunir dos grupos de cosas para obtener un único conjunto.

Por ejemplo: si tengo tres manzanas y tomo otras dos, tendré cinco manzanas (3+2=5).

LA RESTA

La resta consiste en el desarrollo de una descomposición: ante una determinada cantidad, debemos eliminar una parte para obtener el resultado, que recibe el nombre diferencia.

 Por ejemplo: si tengo nueve peras y regalo tres, me quedaré con seis peras (9-3=6). En otras palabras, a la cantidad nueve le quito tres y la diferencia será seis.

LA MULTIPLICACIÓN

Los números que intervienen en la multiplicación reciben el nombre de factores, mientras que el resultado se denomina producto. El objetivo de la operación, por lo tanto, es hallar el producto de dos factores.

Cada factor, por otra parte, tiene su propia denominación: la cifra a sumar repetidamente es el multiplicando, mientras que el número que indica la cantidad de veces que hay que sumar el multiplicando es el multiplicador. La multiplicación, en definitiva, consiste en tomar el multiplicando y sumarlo tantas veces como unidades contiene el multiplicador.

Por ejemplo: 5 x 2 = 10 (“cinco multiplicado por dos es igual a diez”) es la operación que señala que hay que sumar 2 veces el número 5 (5 + 5 = 10 es igual a 5 x 2 = 10). La misma lógica se utiliza con números más grandes (8 x 5 = 40 es igual a 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40).

LA DIVISIÓN

La división o cociente es una operación matemática que consiste en repartir entre partes o grupos iguales y se representa mediante los símbolos "÷", ":" y "/", generalmente. La visión es el contrario de multiplicar. Si conoces un factor de la multiplicación entonces puedes encontrar un factor de la división. Por ejemplo, si 4 x 5 = 20, 20 / 5 = 4 y 20 / 4 = 5.

Conjuntos

CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

LOS DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en

matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático

Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Propiedades de unión

– Propiedades asociativas, si en una unión de tres o más conjuntos se reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada, se obtiene el mismo resultado.
R∩S∩T=(R∩S)∩T
R∩S∩T=R∩(S∩T)

– Propiedades conmutativas, Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía.
R∪S∪T=S∪R∪T
R∪S∪T=T∪R∪S

Propiedades de la intersección

– Propiedad asociativa, si en una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado total es el mismo.
R∪S∪T=(R∪S)∪T
R∪S∪T=R∪(S∪T)

– Propiedad conmutativa, cambiando el orden de los conjuntos, la intersección no se altera.
R∩S∩T=R∩T∩S
R∩S∩T=T∩R∩S

– Propiedad distributiva

La unión es distributiva con respecto a la intersección.
(R∩S)∪T=(R∪T)∩(S∪T)

La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión.
(R∪S)∩T=(R∩T)∪(S∩T)

Propiedades de la diferencia

La diferencia de conjuntos no es asociativa, la diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Ejemplo:

C= {x/x es el alumno que debe rendir español}
M={x/x es alumno que debe rendir matemáticas}

– 1° paso: Representación gráfica
– 2° paso: Ubicar en el conjunto C∩M los alumnos que deben rendir español pero no matemáticas.
– 3° paso: 20 alumnos deben rendir español, de acuerdo con los datos, y 10 rinden sólo esta materia; entonces, los 10 restantes adeudan ambas materias y se tienen que ubicar en C∩M

La diferencia es distributiva con respecto a la unión y a la intersección de conjuntos.

– (R∪S)-T=(R-T)∪(S-T)
– (R∩S)-T=(R-T)∩(S-T)