Ecuaciones y Desigualdades

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.^{nota 1}​ Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica siguiente:

la variable  representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Desigualdades

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b

estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Para tener en cuenta:

Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

Factorizacion y sus casos

Factorizacion

La factorización de una expresión algebraica consiste en ponerlo en forma de producto.

La factorización es la operación inversa del expansión  expandir es transformar un producto en suma.

La función permite de factorizar en línea una expresión algebraica, para llegar a factorizar una expresión algebraica en línea se utilizan diferentes procesos de factorización 

• La factorización buscando factores comunes;
• La factorización usando productos notables;
• La factorización en línea de polinomios de segundo grado.

1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos.
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales.
4. Trinomio cuadrado perfecto.
5. Trinomio de la forma x²+bx+c
6. Trinomio de la forma ax²+bx+c.
7. Factor común.
8. Triángulo de Pascal como guía para factorizar.
9. 
   

Factorización por agrupamiento

Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar.

Uno de esos pasos consiste en agrupar los términos del polinomio en varios grupos, para luego usar el método del factor común.

Ejemplo 1

Factorizar ac + bc + ad + bd.

Solución

Se tienen 4 factores donde dos son comunes: en el primer término es “c” y en el segundo es “d”. De esa manera se agrupan y separan los dos términos:

(ac + bc) + (ad + bd).

Ahora es posible aplicar el método del factor común, dividiendo cada término por su factor común y luego multiplicando ese factor común por los términos resultantes, así:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c(a + b) + d(a + b).

Ahora se obtiene un binomio que es común para ambos términos. Para factorizarlo se multiplica por los factores restantes; de esa manera se tiene que:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) * (a + b).

Factorización por inspección

Este método se usa para factorizar polinomios cuadráticos, también llamados trinomios; es decir, aquellos que se estructuran como ax2 ± bx + c, donde el valor de “a” es diferente de 1. Este método también se usa cuando el trinomio tiene la forma x2 ± bx + c y el valor del “a” = 1.

Ejemplo 1

Factorizar x2 + 5x + 6.

Solución

Se tiene un trinomio cuadrático de la forma x2 ± bx + c. Para factorizarlo primero se deben encontrar dos números que, al multiplicarse, den como resultado el valor de “c” (es decir, 6) y que su suma sea igual al coeficiente “b”, que es 5. Esos números son 2 y 3:

2 * 3 = 6

2 + 3 = 5.

De esa forma, la expresión se simplifica así:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Se factoriza cada término:

– Para (x2 + 2x) se saca el término común: x (x + 2)

– Para (3x + 6) = 3(x + 2)

Así, la expresión queda:

x(x +2) + 3(x +2).

Como se tiene un binomio en común, para reducir la expresión se multiplica este por los términos sobrantes y se tiene que:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3).

Procesos Algebraicos

Procesos Algebraicos

Los procesos algebraicos y su incidencia en el razonamiento lógico matemático en problemas con ecuaciones de primer grado en estudiantes de noveno año de educación básica del colegio nacional 17 de abril del cantón Quero provincia de Tungurahua.

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica contiene letras, números y signos. La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. Las expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán, por lo general, una o dos letras. Un ejemplo de expresión con una única letra es:

3x2+4x−2−x2+7x

3

x2

+4x−2−

x2

+7x

Propiedades Algebraicas

Propiedad Asociativa

La asociatividad es una propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple si, dados tres o más elementos cualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación, que cumpla la igualdad:

Propiedad Conmutativa 

En matemáticas, la propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en que se toman

Propiedad Distributiva

la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumandos, es igual a la suma de los productos de cada uno sumando por ese número.

Monomios y Binomios

Binomios

Es una expresión algebraica que se compone de dos términos, donde se enlazan dos monomios que se suman o restan (a+b) o (a-b). Todo binomio es un polinomio, pero las expresiones algebraicas pueden contar con más de dos términos por lo cual existen polinomios que no son binomios, de tres, cuatro o más términos.

Para averiguar las potencias de un binomio se recurre a la llamada fórmula del binomio de Newton, que consiste en un algoritmo donde se emplean una sucesión  de números combinatorios o coeficientes binomiales.

Monomios

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente.¹​ Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio, que posee un único término.

Ejemplos de monomios:

Pero:

no son monomios, porque los exponentes no son naturales.

Suma y resta de monomios[editar]

Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.⁴​

El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes:

Ejemplo

Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Producto de monomios[editar]

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.⁴​

Ejemplos

Cociente de dos monomios[editar]

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

Ejemplos

sí es un monomio porque:  es múltiplo de ;

no es un monomio porque:  no es múltiplo de  y el exponente del factor  (del cociente) no es un número natural.

Potenciacion Radicacion y Logaritmacion con sus propiedades

POTENCIACIÓN 

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee normalmente como «a elevado a n» o también «a elevado a la n». Hay algunos números exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado o el 3, que se lee al cubo.Se debe tener en cuenta que en el caso de la potenciación, la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un numero natural  que no tiene por qué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un numero entero.

Propiedades de la potenciacion

1-. Propiedades de las potencias con exponente 0: Cuando una potencia tiene como exponente “0” el resultado siempre sera 1.

a0=1250=1

2-. Propiedades de las potencias con exponente 1: Toda potencia con exponente 1 el resultado sera su base.

a1=a251=25

3-. Multiplicación con misma base: El producto de dos potencias con misma base, es una potencia de misma base y el exponente es la suma de los exponentes.

am⋅an=am+n252⋅255=25(2+5)=257

4-. División de potencias con misma base: El cociente de dos potencias con misma base, es otra potencia de misma base y el exponente es la diferencia de los exponentes.

am:an=am−n252:255=25(2−5)=253

5-. Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente: El producto de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la multiplicación de sus bases y se conserva su exponente.

am⋅bm=(a⋅b)m252⋅52=(25⋅5)2=1252

6-. División de potencias con base distinta y mismo exponente: El cociente de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la división de sus bases y se conserva su exponente.

am:bm=(a:b)m252:52=(25:5)2=52

7-. Potencia de una potencia: El resultado es otra potencia que conserva la base y el exponentes es el producto de los exponentes.

(am)n=am⋅n(252)5=25(2⋅5)=2510

8-. Potencia con exponente negativo: no se pueden resolver, el exponente debe pasar a positivo.

a−m=1am25−2=1252

9-. Potencia con exponente fraccionario:  Es igual al radical donde el denominador es el indice de la raiz y el numerador es el exponente de la raíz

anm=an−−√m=(a−−√m)n2525=252−−−√5=(25−−√5)2

10-. Potencia con exponente fraccionario de numerador 1: Es igual al radical donde el denominador es el indice la la raíz.

a1m=a−−√m2515=25−−√5

Con esto terminamos las propiedades de las potencias  ahora la única forma de comprenderlas y aplicarlas es haciendo ejercicios y aplicando cada propiedad de ellas.

Radicacion

 la radicación es el proceso de hallar raíces de orden n de un número a.​. De modo que se verifica que, donde n es llamado índice u orden, a es llamado radicando, y x es una raíz enésima.​​ La raíz de orden dos de, se llama raíz cuadrada de y se escribe como o también

Propiedades de la radicacion

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:

Ejemplo

•  =  = 

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador:

Ejemplo

• 

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:

Ejemplo

•  = 

Logaritmacion

es una operación aritmética que busca un exponente que, al ser puesto con un numero ya definido, dé como resultado un número específico. Para realizar ésta operación debes de saber cómo hacer una potencia

Propiedades de la logaritmacion

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo

5. Cambio de base:

Ejemplo

35⋅34⋅3−1⋅34⋅3−652⋅5−7⋅55⋅535⋅24⋅3−7⋅27⋅32⋅2−823⋅34⋅45⋅3−2⋅28⋅4−3⋅37⋅24⋅4222⋅32⋅42⋅34⋅32⋅30923